Физический смысл БПФ

Для чего нужно быстрое преобразование Фурье или вообще дискретное преобразование Фурье (ДПФ)? Давайте попробуем разобраться.

Пусть у нас есть функция синуса x = sin(t).

Максимальная амплитуда этого колебания равна 1. Если умножить его на некоторый коэффициент A, то получим тот же график, растянутый по вертикали в A раз: x = Asin(t).

Период колебания равен 2π. Если мы хотим увеличить период до T, то надо умножить переменную t на коэффициент. Это вызовет растяжение графика по горизонтали: x = A sin(2πt/T).

Частота колебания обратна периоду: ν = 1/T. Также говорят о круговой частоте, которая вычисляется по формуле: ω= 2πν = 2πT. Откуда: x = A sin(ωt).

И, наконец, есть фаза, обозначаемая как φ. Она определяет сдвиг графика колебания влево. В результате сочетания всех этих параметров получается гармоническое колебание или просто гармоника:

Очень похоже выглядит и выражение гармоники через косинус:

Большой разницы нет. Достаточно изменить фазу на π/2, чтобы перейти от синуса к косинусу и обратно. Далее будем подразумевать под гармоникой функцию косинуса:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ)     (1)

В природе и технике колебания, описываемые подобной функцией чрезвычайно распространены. Например, маятник, струна, водные и звуковые волны и прочее, и прочее.

Преобразуем (1) по формуле косинуса суммы:

x = A cos φ cos(2πt/T) - A sin φ sin(2πt/T)     (2)

Выделим в (2) элементы, независимые от t, и обозначим их как Re и Im:

x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (3)
Re = A cos φ, Im = A sin φ

По величинам Re и Im можно однозначно восстановить амплитуду и фазу исходной гармоники:

   и       (4)

Теперь возьмем обратное преобразование Фурье:

    (5)

Выполним над этой формулой следующие действия: разложим каждое комплексное X_k на мнимую и действительную составляющие X_k = Re_k + j Im_k; разложим экспоненту по формуле Эйлера на синус и косинус действительного аргумента; перемножим; внесем 1/N под знак суммы и перегруппируем элементы в две суммы:

    (6)

Оставим эту формулу пока в стороне и рассмотрим очень распространенную ситуацию. Пусть у нас есть звуковое или какое-то иное колебание в виде функции x = f(t). Пусть это колебание было записано в виде графика для отрезка времени [0, T]. Для обработки компьютером нужно выполнить дискретизацию. Отрезок делится на N-1 частей и сохраняются значения функции x₀, x₁, x₂,..., x_N для N точек на границах отрезков t₀ = 0, t₁ = T/N, t₂ = 2T/N,..., t_n =nT/N,..., t_N = T.

В результате прямого дискретного преобразования Фурье были получены N значений для X_k:

    (7)

Теперь, если применить обратное дискретное преобразование Фурье, то получится исходная последовательность {x}. Исходная последовательность состояла из действительных чисел, а последовательность {X} в общем случае комплексная. Теперь вернемся к формуле (6). Слева стоит действительное число x_n, а справа - две суммы, одна из которых помножена на мнимую единицу j. Сами же суммы состоят из действительных слагаемых. Отсюда следует, что вторая сумма равна нулю, если исходная последовательность {x} была действительной. Отбросим ее и получим:

    (8)

Поскольку при дискретизации мы брали t_n = nT/N и x_n = f(t_n), то можем выполнить замену: n = t_nN/T. Следовательно, в синусе и косинусе вместо 2πkn/N можно написать 2πkt_n/T. В результате получим:

    (9)

Сопоставим эту формулу с формулами (1) и (3) для гармоники:

x = A cos(2πt/T + φ) = A cos(2πνt + φ) = A cos(ωt + φ)     (1)
x = Re cos(2πt/T) - Im sin(2πt / T)    (3)

Мы видим, что сумма (9) представляет собой сумму из N гармонических колебаний разной частоты, фазы и амплитуды:

    (10)

Далее будем функцию

G_k(t) = A_k cos(2πtk/T + φ_k)     (11)

называть k-й гармоникой.

Амплитуда, фаза, частота и период каждой из гармоник связаны с коэффициентами X_k формулами:

    (12)

Итак.

Физический смысл дискретного преобразования Фурье состоит в том, чтобы представить некоторый дискретный сигнал в виде суммы гармоник. Параметры каждой гармоники вычисляются прямым преобразованием, а сумма гармоник - обратным.